Sabías que la geometría es el espacio figurado

Según parece, la geometría nació a orillas del Nilo, Las crecidas regula­res de este río, al borrar los límites de los campos, planteaban a los egipcios unos problemas delicados: debían vol­ver a trazar los límites de los terrenos cultivados y devolver a cada cual su propiedad. Para ello había que calcu­lar las áreas, construir polígonos, y en una palabra hacer geometría.La geometría es el estudio matemático riguroso del espacio y de las formas que se pueden imaginar en él. Del griego geo, Tierra y metrón, medida.

Según parece, la geometría nació a orillas del Nilo, Las crecidas regula­res de este río, al borrar los límites de los campos, planteaban a los egipcios unos problemas delicados: debían vol­ver a trazar los límites de los terrenos cultivados y devolver a cada cual su propiedad. Para ello había que calcu­lar las áreas, construir polígonos, y en una palabra hacer geometría.

De aquella geometría cotidiana, que permitía al hombre resolver unos problemas de agrimensura con­cretos, nació poco a poco, una geo­metría abstracta. Se descubrió que una misma noción podía aplicarse a casos diferentes. Así, la línea de horizonte del mar y una plomada no tie­nen ningún elemento material común. No obstante, son ejemplos de lo que la geometría llama una recta, noción indefinible que sólo puede ser com­prendida indicando objetos de la rea­lidad concreta. Un trazo rectilíneo dibujado en una hoja de papel da una idea aproximada de la línea recta. Pero, de hecho, la recta no está limi­tada (mientras que el trazo termina en el borde de la hoja), no tiene espe­sor (mientras que el trazo, por muy fino que sea, lo tiene). Igualmente, al observar un balón, un globo terres­tre o una bola de billar, tendremos una idea de la noción de esfera.

Un matemático italiano, Fra Luca Pacioli (1445-1510), enseñando los Elementos de Euclides. Museo de Capodimonte, Nápoles.Un matemático italiano, Fra Luca Pacioli (1445-1510), enseñando los Elementos de Euclides. Museo de Capodimonte, Nápoles.

Axiomas y teoremas de Euclides.

Un sabio griego de Alejandría (puerto del antiguo Egipto), Eu­clides, escribió en el siglo III a. de J.C. la primera obra completa de geome­tría. Situándose en una perspectiva diferente de los libros egipcios de aquella época (simples recopilaciones de «recetas» que permitían resolver unos problemas concretos), quiso pro­bar, a través de una demostración ri­gurosa, todos los resultados que daba. Para ello admitió, en primer lugar, unas nociones intuitivas (el punto, la recta, el plano), y luego unas afir­maciones que él creía ciertas, pero cuya exactitud no podía establecer (el todo es más grande que las partes; dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí). Los axiomas y los postulados sirven para elaborar los teoremas.

Ciertamente, Euclides no podía de­mostrar la exactitud de sus axiomas; pero, para él y sus contemporáneos, estos axiomas constituían unas evi­dencias indiscutibles. Así, se podía tener una idea precisa del ángulo rec­to, ya que se le veía representado en la realidad por la posición relativa de la línea de horizonte del mar y una plomada.

La geometría euclidiana, excelente instrumento para entender el mundo en el cual vivimos, fue un factor im­portante del progreso de las ciencias y de las técnicas.

El gabinete de un geómetra en el siglo XVIII. Museo Carnavalet. París.El gabinete de un geómetra en el siglo XVIII. Museo Carnavalet. París.

Geometrías no euclidianas.

Pero la evidencia de los axiomas de Euclides fue discutida a partir del si­glo XIX. Los matemáticos (el alemán Riemann y, especialmente, el ruso Lobachevski) tomaron como punto de partida de sus razonamientos los axiomas de Euclides a la inversa. Así nacieron unas geometrías diferentes, no euclidianas, que, a primera vista parecían no tener ninguna utilidad práctica. Pero desde entonces, estas nuevas investigaciones (gracias a las cuales Einstein pudo establecer su teoría de la relatividad) son utiliza­das comúnmente en numerosos cam­pos (física nuclear, astronáutica, et­cétera).

La aplicación de las técnicas del álgebra a la geometría dio origen a la geometría analítica (Descartes), que permite asignando números, o coordenadas a los puntos, calcular y establecer todas las curvas.

En geometría descriptiva se repre­sentan de una manera completa y fiel, sobre un plano (la hoja en la que se di­buja), unas figuras o unos elemen­tos de geometría del espacio. Los grandes pintores y los arquitectos del Renacimiento se sirvieron de ella, pero fue Monge quien la convirtió en una verdadera disciplina matemática (geometría acotada, perspectiva ca­ballera).

La geometría proyectiva (proyec­ción de una figura a partir de uno de sus puntos sobre un plano) ofrece gran interés para la pintura y la deco­ración. Pero, por el espacio en que se sitúa, por sus axiomas y sus relaciones, la geometría proyectiva consti­tuye una rama de la matemática.

Geometría pura.

La geometría se basa cada vez me­nos en las evidencias. Los axiomas que sirvieron de punto de partida ya no son indiscutibles. Simplemente se les supone ciertos para una geometría dada: lo que aquí es verdad podrá re­sultar falso en otras partes. A pesar de todo, las posibilidades que ofrece la geometría aplicada en el estudio de las realidades físicas son inmensas, Desde la representación simbólica de un campo cuya superficie se quiere calcular hasta la determinación de las trayectorias de los astros, pasando por los mapas, planos y diseños uti­lizados en geografía, en construcción mecánica y en arquitectura, los cam­pos en que la geometría sigue siendo indispensable son vastos y múltiples.

Pero las ambiciones de l’ actividad matemática van mucho más lejos. Gran número de investigaciones son llevadas a cabo sin preocuparse de su utilización inmediata: tratan de crear unos modelos perfectos cuya verdad no dependa de las circunstancias: Ésta es la base de la geometría pura.

Euclides.

Fundador en Alejandría de la más célebre escuela de matemáticas de la Antigüedad, Euclides escribió, con sus Elementos, el primer tratado de geometría.

Al comienzo de él figura un axioma: «Por un punto de un plano, sólo s puede trazar una paralelé a una recta.» Del debate de este famoso postulado de Euclides nacerían las nuevas geometrías.

Tales de Mileto.

Sabio y filósofo griego de gran fama -se incluye entre los siete sabios de Grecia-,

Tales de Mileto (hacia 640-hacia 562 antes de J.C.) elaboró los primeros teoremas de geometría plana. Para calcular la altura de un edificio le bastaba con medir la sombra que éste proyectaba en el suelo.

Pitágoras.

«En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos (los otros dos lados)»: éste es el teorema de Pitágoras, filósofo y matemático griego del siglo VI a. de J.C., inventor de la tabla de multiplicar y de la gama de los instrumentos de cuerda.

Monge.

Fundador de la Escuela Politécnica francesa, creador de la geometría descriptiva y gran teórico de la geometría analítica, Gaspard Monge (1746-1818) fue maestro indiscutido de todos los matemáticos del siglo XIX.

Izzo 22, composición de Vasarely (1968). A partir de una figura elemental de geometría plana, el cuadrado, el pintor ha realizado un engaste de volúmenes, un juego de luces y sombras tal que nuestra vista pierde sus puntos de referencia habituales. Galerie Denise-René, París.Izzo 22, composición de Vasarely (1968).
A partir de una figura elemental de geometría plana, el cuadrado, el pintor ha realizado un engaste de volúmenes, un juego de luces y sombras tal que nuestra vista pierde sus puntos de referencia habituales. Galerie Denise-René, París.

Los no euclidianos.

El matemático Bernhard Riemann (1826-1866) y el ruso Nikolai lvanovich Lobachevski (1792-1856) pusieron en duda el postulado de Euclides al afirmar que no podía trazarse desde un punto ninguna paralela a una recta (Riemann), o que podían trazarse dos (Lobachevski).

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