Complementación de conjuntos – Matemáticas
En general, llamaremos complementario de un conjunto A respecto de otro B, al conjunto formado por los elementos del segundo conjunto B que no pertenecen al primer conjunto A.
Para poder realizar esta operación es necesario que el conjunto del que deseamos hallar su complementario sea subconjunto segundo conjunto B.
Distinguiremos dos casos, que se diferencian únicamente por la forma de simbolizar al conjunto complementario:
a) Cuando se trata de hallar el complementario de un conjunto A, con respecto al Universal U, lo simbolizaremos de las siguientes formas: A’, ¯A o CA
Nota.- Si el conjunto con respecto al cual tenemos que aplicar la complementariedad no se especifica, supondremos automáticamente que es con respecto al Universal U,
Ejemplo: Si el conjunto U es el de los seres humanos y el conjunto A es el de los hombres, el conjunto complementario de A es:
A’ = {ser mujer}.
Ejemplo: Dados los conjuntos U = {1, 2, 3}, A = {1} y B = {2} podemos deducir que A’ = {2, 3} y B’ = {1, 3}.
b) Ahora bien, si de lo que se trata es de hallar el complementario de un conjunto A, con respecto a otro cualquiera B, lo simbolizaremos de las siguientes formas: A’B, ¯AB ó CBA
Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3}. Hallar : A’B y B’A.
A’B no existe porque A no es subconjunto de B (A ⊄ B) B´A ={1, 2}.
Existen, para la operación complementariedad, unos axiomas que siempre se cumplen, cualesquiera que sean los conjuntos tratados. Imaginémonos un conjunto A y su complementario A’.
-A ∩ A’ = ∅
-A ∪ A’ = U
– (A’)’ = A
Leyes de Morgan para la complementación. Imaginemos un conjunto A y su complementario A’ y otro B y su complementario B’.
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’; (A∪ B)’ = A’ ∩ B’
Con las operaciones anteriormente expuestas ya quedaría definido el cuadro operativo necesario para cualquier álgebra de conjuntos; sin embargo, vamos a estudiar nuevas operaciones, que en realidad se podrían deducir de las anteriores, y a las que vamos a dar una manifestación particular para captarlas con más claridad.
Varrón, a quien se llegó a considerar como «el más culto de los romanos», escribió siete obras importantes que constituían una especie de enciclopedia; la primera conocida, que constituyó un antecedente muy consultado e incluso imitado en la Edad Media. En esta obra se determinaron las siete artes liberales, que sirvieron de base para determinar el proceso educativo básico, hasta casi el Renacimiento.
Las partes primera y segunda, estaban dedicadas a la Geometría y la Aritmética. En suma, Varrón organizó y. sistematizó los conocimientos griegos anteriores a él, y, sin aportar grandes novedades, sirvió de base para una evolución ulterior.
