Complementación de conjuntos – Matemáticas

En general, llamaremos complementario de un conjunto A respecto de otro B, al conjunto formado por los elementos del segundo conjunto B que no pertenecen al primer conjunto A.

Para poder realizar esta operación es necesario que el conjunto ­del que deseamos hallar su complementario sea subconjunto segundo conjunto B.

Para poder realizar esta operación es necesario que el conjunto ­del que deseamos hallar su complementario sea subconjunto segundo conjunto B.

Distinguiremos dos casos, que se diferencian únicamente por la forma de simbolizar al conjunto complementario:

a) Cuando se trata de hallar el complementario de un con­junto A, con respecto al Universal U, lo simbolizaremos de las siguientes formas: A’, ¯A o CA

Nota.- Si el conjunto con respecto al cual tenemos que aplicar la complemen­tariedad no se especifica, supondremos automáticamente que es con respecto al Uni­versal U,

Ejemplo: Si el conjunto U es el de los seres humanos y el conjunto A es el de los hombres, el conjunto complementario de A es:

A’ = {ser mujer}.

Ejemplo: Dados los conjuntos U = {1, 2, 3}, A = {1} y B = {2} podemos deducir que A’ = {2, 3} y B’ = {1, 3}.

b) Ahora bien, si de lo que se trata es de hallar el comple­mentario de un conjunto A, con respecto a otro cualquiera B, lo simbolizaremos de las siguientes formas: A’B, ¯AB ó CBA

b) Ahora bien, si de lo que se trata es de hallar el comple­mentario de un conjunto A, con respecto a otro cualquiera B, lo simbolizaremos de las siguientes formas: A'B, ¯AB ó CBA

Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3}. Hallar : A’B y B’A.

A’B no existe porque A no es subconjunto de B (A ⊄ B) B´={1, 2}.

Existen, para la operación complementariedad, unos axiomas que siempre se cumplen, cualesquiera que sean los conjuntos tratados. Imaginémonos un conjunto A y su complementario A’.

-A ∩ A’ = ∅

-A ∪ A’ = U

– (A’)’ = A

Leyes de Morgan para la complementación. Imaginemos un conjunto A y su complementario A’ y otro B y su complementa­rio B’.

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’; (A∪ B)’ = A’ ∩ B’

Con las operaciones anteriormente expuestas ya quedaría definido el cuadro operativo necesario para cualquier álgebra de conjuntos; sin embargo, vamos a estudiar nuevas operaciones, que en realidad se podrían deducir de las anteriores, y a las que vamos a dar una manifestación particular para captarlas con más claridad.

Varrón, a quien se llegó a con­siderar como "el más culto de los romanos", escribió siete obras importantes que consti­tuían una especie de enciclope­dia; la primera conocida, que constituyó un antecedente muy consultado e incluso imitado en la Edad Media. Varrón, a quien se llegó a con­siderar como «el más culto de los romanos», escribió siete obras importantes que consti­tuían una especie de enciclope­dia; la primera conocida, que constituyó un antecedente muy consultado e incluso imitado en la Edad Media. En esta obra se determinaron las siete artes libe­rales, que sirvieron de base para determinar el proceso educativo básico, hasta casi el Renaci­miento.

Las partes primera y segunda, estaban dedicadas a la Geometría y la Aritmética. En suma, Varrón organizó y. sistematizó los conocimientos griegos anteriores a él, y, sin aportar grandes novedades, sirvió de base para una evolución ulterior.

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