Formas generales de operar con conjuntos

En este apartado vamos a estudiar las formas diversas a través de las cuales es posible efectuar operaciones con conjuntos.

Operativa corriente.

Se utiliza cuando los conjuntos motivo de operaciones nos los dan expresados con todos y cada uno de sus elementos. Esta forma de operar es la que se ha venido exponiendo a lo largo de todas las operaciones de conjuntos ya citados.

Ejemplo. Dados los conjuntos:

U = {1, 2, 3, 4, 5}

A= {2, 3}

B = {2}

C= {3, 4}

Se pide: a). Representarlos en un diagrama de Venn. b). Definir por extensión los conjuntos siguientes:

A∪B          (A∩B) – C´

B∩C           B’a

(A-B)’         B + C

Vamos, pues, a solucionar los apartados del problema:

a)Se utiliza cuando los conjuntos motivo de operaciones nos los dan expresados con todos y cada uno de sus elementos. Esta forma de operar es la que se ha venido exponiendo a lo largo de todas las operaciones de conjuntos ya citados.

b) A∪B = {2, 3}

 B∩C = { }    

(A-B)’ = {3}’ = {1, 2, 4, 5}

(A∩B) – C’ = {2} – {3, 4}’ = {2} – {1, 2, 5} =1 { }

Ba = {3}

B + C = (B-C) ∪ (C-B) = {2} ∪ {3, 4} = {2, 3, 4}

La lucha de los primeros hom­bres con la Naturaleza debió ser terriblemente dura: estaban des­nudos, tenían frío y todavía no conocían el fuego que los calen­tara; las fieras los acosaban y no tenían armas con que defender­se. El hambre sólo podían saciar­la plenamente en algunas épo­cas del año en que las frutas estaban en sazón y podían comerlas; el resto del año tenían que cazar. Así, una de sus gran­des preocupaciones fue proveer­se de armas.La lucha de los primeros hom­bres con la Naturaleza debió ser terriblemente dura: estaban des­nudos, tenían frío y todavía no conocían el fuego que los calen­tara; las fieras los acosaban y no tenían armas con que defender­se. El hambre sólo podían saciar­la plenamente en algunas épo­cas del año en que las frutas estaban en sazón y podían comerlas; el resto del año tenían que cazar. Así, una de sus gran­des preocupaciones fue proveer­se de armas. Lo que no ofrece duda es que antes de aprender a fabricarlas buscó y seleccionó objetos naturales, piedras o gui­jarros puntiagudos, huesos lar­gos, ramas gruesas, etc.; más tarde, y en base a esta experien­cia, ya supo calcular en cierto modo qué volumen o qué grueso necesitaba para defenderse de cada animal o para cazarlo.

Operativa por diagrama de Venn.

Se utiliza cuando los conjuntos, motivo de operaciones, nos los dan sin elementos en forma general.

Ejemplo. Hallar el resultado de la operación: (A-B) ∪ (B∩A):

Como en la expresión dada no aparecen conjuntos comple­mentarios, no es necesario utilizar, en este caso, el conjunto Uni­versal, en los diagramas de Venn. Dibujaremos los conjuntos A y B, en su forma más general.

Como en la expresión dada no aparecen conjuntos comple­mentarios, no es necesario utilizar, en este caso, el conjunto Uni­versal, en los diagramas de Venn. Dibujaremos los conjuntos A y B, en su forma más general.

Ejemplo. Hallar el resultado de la operación (A∩B) ∪ (A∩B’) ∪ (A’∩B):

Como en la expresión dada aparecen complementarios, será conveniente utilizar el Universal en los diagramas de Venn, vamos a hacer el problema despacio y por partes para que no existan conflictos, eligiendo inicialmente cada uno de los paréntesis.

Como en la expresión dada aparecen complementarios, será conveniente utilizar el Universal en los diagramas de Venn, vamos a hacer el problema despacio y por partes para que no existan conflictos, eligiendo inicialmente cada uno de los paréntesis.

Obsérvese cómo hemos localizado la solución de cada parén­tesis de la expresión; a continuación, según indica la operación, tenemos que efectuar la unión de todos los resultados de los paréntesis, que sea la solución final.

Obsérvese cómo hemos localizado la solución de cada parén­tesis de la expresión; a continuación, según indica la operación, tenemos que efectuar la unión de todos los resultados de los paréntesis, que sea la solución final.

Ejemplo. Representar en un diagrama de Venn, la parte rayada, correspondiente a la operación: A∩ (B∪C)’.

Ejemplo. Representar en un diagrama de Venn, la parte rayada, correspondiente a la operación: A∩ (B∪C)'.

Operativa por presencias.

Esta forma de operar conjuntos exige una gran atención para poder desarrollar con éxito los razonamientos, y un gran dominio de las operaciones.

Ejemplo. Hallar el resultado de la siguiente operación: B – (A∩B). Ini­cialmente se propone que un elemento x pertenece a un conjunto cualquiera. (x∈B).

Si x∈B ⇒ x∉ (A∩B) ⇒ x∈ (B – A)

B – (A∩B) = B – A

Ejemplo. Demostrar la igualdad (A∩B) U (A’∩B’) = U

En este tipo de problemas, que nos propongan demostrar una igualdad, se procede generalmente de la siguiente forma: Se elige uno de los miembros, generalmente el más denso, y si operando en él, llegamos al segundo miembro, habremos conseguido nuestro propósito. Hay veces que hay que operar simultáneamente en los dos miembros para poder llegar a la certeza de la igualdad.

En este caso, operaremos en el primero.

x∈A ⇒ x∈ (A∩B) ⇒ x∈B, luego 

x∉A’ y x∉B’ = x∉ (A’∩B’), luego 

x∈ (A∩B) ∪ (A’∩B’) ⇒ x∈U

Henry Rhind, estudiante esco­cés y aficionado a las antigüeda­des, encontró en la ciudad de Tebas dos rollos de papiro egip­cio que son los documentos más antiguos conocidos; se cree que fueron escritos 2.000 años antes de Cristo. Contienen una colec­ción de problemas que aún hoy en día son dificilísimos de solu­cionar.Henry Rhind, estudiante esco­cés y aficionado a las antigüeda­des, encontró en la ciudad de Tebas dos rollos de papiro egip­cio que son los documentos más antiguos conocidos; se cree que fueron escritos 2.000 años antes de Cristo. Contienen una colec­ción de problemas que aún hoy en día son dificilísimos de solu­cionar.

Estos papiros están escritos en jeroglíficos, y se conservan, uno en el British Museum y el otro en el Museo de Ciencia de Moscú.

Los egipcios utilizaron un sistema de numeración de base decimal; los múltiplos de 10 tenían representaciones particulares que son el equivalente a nuestros números del 1 al 9. Así, para escribir en caracteres egip­cios el año 1982, se pondría a la derecha el símbolo de mil, segui­do por nueve símbolos de cien, ocho de diez y dos unidades.

Los egipcios utilizaron un sistema de numeración de base decimal; los múltiplos de 10 tenían representaciones particulares que son el equivalente a nuestros números del 1 al 9. Así, para escribir en caracteres egip­cios el año 1982, se pondría a la derecha el símbolo de mil, segui­do por nueve símbolos de cien, ocho de diez y dos unidades.

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