Número de elementos de un conjunto. Cardinal de un conjunto

Hasta ahora, en todas las operaciones de conjuntos, nuestro interés se había manifestado en el sentido de diferenciar la calidad (cómo son) de los elementos de los conjuntos.

Pues bien, nuestro interés ahora se va a volcar en localizar la cantidad (cuántos son) de elementos de los conjuntos que originaban aquellas operaciones.

Hay que hacer notar, y ya lo observaremos posteriormente, que este estudio nos va a llevar a poder solucionar innumerables problemas de gran sentido práctico.

En general, dado un conjunto A, representaremos la cantidad de elementos que posee, de cualquiera de las formas: n (A) ó card (A).

Vamos a efectuar un estudio inicial con dos conjuntos, tratan­do las tres posibilidades de relacionarlos:

En general, dado un conjunto A, representaremos la cantidad de elementos que posee, de cualquiera de las formas: n (A) ó card (A). Vamos a efectuar un estudio inicial con dos conjuntos, tratan­do las tres posibilidades de relacionarlos:

Continuamos el estudio tratando tres conjuntos en sus postu­ras más corrientes:

Continuamos el estudio tratando tres conjuntos en sus postu­ras más corrientes:

Un estudio para cuatro conjuntos, en su caso más general y completo, con intersección común es:

n(A∪B∪C∪D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) – n(A∩lB) – n(A∩C) – n(A∩D) – n(B∩C) – n(B∩D) – n(C∩D) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D)+ n(A∩lC∩D) + n(B∩C∩D) – n(A∩B∩C∩D)

Nota. Observando las leyes de formación de los desarrollos, se podría llegar a establecer una fórmula válida para cualquier cantidad de conjuntos, que estaría determinada por la evolución propia del desarrollo y por la teoría combinatoria.

Vamos a intentar, pues, plantearla para el caso más general, con intersección común entre todos los conjuntos.

n (unión de todos) = + ∑ n (conjuntos de uno en uno).

                                        – ∑ n (intersección de dos en dos).

                                        + ∑ n (intersección de tres en tres).

                                         – ∑ n (intersección de cuatro en cuatro).

                                         + ∑ n (intersección de cinco en cinco).

Nota. El signo ∑ indica suma de lo que se expresa a continuación del signo ∑.

Pirámide de Keops.
La Gran Pirámide, considera­da por los antiguos como una de las maravillas del mundo, tiene 150 m. de altura, midiendo su base 5 hectáreas de extensión.
  1. Conductos de aireación.
  2. Galería.
  3. Entrada.
  4. Cámara del rey.
  5. Cámara de la reina.
  6. Cámara subterránea.
La Gran Pirámide, considerada por los antiguos como una de las maravillas del mundo, tiene 150 m. de altura, midiendo su base 5 hectáreas de extensión.
El revestimiento exterior está formado por bloques enormes de piedra; algunos pesan unas 500 toneladas y miden más de 10 metros.
Es curiosa la observación de que la relación entre el perímetro de la base de la Gran Pirámide y el doble de su altura es exacta­mente igual a la relación de la circunferencia al diámetro, o sea, π: = 3, 1416 (pi); esto hace supo­ner que los egipcios ya habían encontrado esta relación.

Ejemplo.

A un examen han concurrido 100 alumnos a examinarse de Matemáticas y Física. Sabiendo que las Matemáticas la han aprobado 54 alumnos en total, la Física 75 alumnos en total y el número de alumnos que han aprobado ambas asignaturas han sido 40, hallar la cantidad de alumnos que no han aprobado nin­guna asignatura.

Este problema se puede realizar con facilidad, recurriendo al diagrama de Venn, o bien, operativamente, mediante cardinales.

Mediante un diagrama de Venn:

Obsérvese que los conjuntos M y F deben estar solapados, ya que según el problema existen alumnos que han aprobado Mate­máticas y Física a la vez.

Obsérvese que los conjuntos M y F deben estar solapados, ya que según el problema existen alumnos que han aprobado Mate­máticas y Física a la vez.

Luego, no han aprobado ninguna asignatura 11 alumnos.

Mediante cardinales:

Aplicamos la expresión general para dos conjuntos solapados.

n(M∪F) = n(M) + n(F) – n(M∩F)

n(M∪F) = 54 + 75 – 40

n(M∪F) = 89 alumnos que han aprobado alguna asignatura.

Luego, no han aprobado ninguna asignatura:  100 – 89 = 11 alumnos.

El complicado sistema de herencia, que impone el Corán, obligó a los árabes al uso de las matemáticas, así como para resolver los problemas que surgían en los riegos agrícolas que implantaban y desarrollaban en los terrenos ocupados. El punto de partida fue el estudio de los autores clásicos en textos que ya se habían tradu­cido al árabe en una primera época. En resumen, las matemáticas árabes se nutrieron de un legado cultural enriquecido por hallaz­gos personales que hicieron progresar los cálculos algebraicos y trigonométricos. Las matemáticas fueron con­sideradas, por primera vez, como ciencias autónomas.El complicado sistema de herencia, que impone el Corán, obligó a los árabes al uso de las matemáticas, así como para resolver los problemas que surgían en los riegos agrícolas que implantaban y desarrollaban en los terrenos ocupados.
El punto de partida fue el estudio de los autores clásicos en textos que ya se habían tradu­cido al árabe en una primera época.
En resumen, las matemáticas árabes se nutrieron de un legado cultural enriquecido por hallaz­gos personales que hicieron progresar los cálculos algebraicos y trigonométricos.
Las matemáticas fueron con­sideradas, por primera vez, como ciencias autónomas.

Ejemplo.

En una clase de 75 alumnos, 60 juegan al fútbol, 50 al baloncesto y 10 a ninguna de las dos cosas. Averiguar cuántos alumnos practican ambos deportes.

Los conjuntos en cuestión estarán solapados. La solución está en la intersección de ambos.

n(F∪B) = N(F) + n(B) – n(F∩B); n(F∪B) = 75 – 10 = 65

65 = 60 + 50 – n(F∩B)

n(F∩B) = 60 + 50 – 65 = 45 alumnos practican ambos deportes.

Ejemplo.

Un estudio estadístico ha arrojado los siguientes datos:

El 68 % de la población española es aficionada a los toros, y el 72 % al fútbol. Qué diríamos de los que son aficionados a los toros y al fútbol, simultáneamente.

Para resolver el problema, consideremos que a todos los españoles les gustan los toros, el fútbol o ambas cosas a la vez.

n(T∪F) = n(T) + n(F) – n(T∩F)

100 = 68 + 72 – n(T∩F)

n(T∩F) = 68 + 72 – 100 = 40

Al 40 % de los españoles les gustan los toros y el fútbol a la vez.

La civilización egipcia había desaparecido totalmente y sólo se conocían algunos relatos de aquella esplendorosa civilización a través de Herodoto.La civilización egipcia había desaparecido totalmente y sólo se conocían algunos relatos de aquella esplendorosa civilización a través de Herodoto.
La expedición francesa de Egipto, de 1.789 a 1.801, desper­tó enorme curiosidad entre los hombres de ciencia de la época.
Los majestuosos monumen­tos que habían legado a la poste­rioridad y las ruinas que pese a los siglos transcurridos aún impresionan por su grandiosi­dad, hablaban claramente de una ciencia que en todos los ór­denes había alcanzado muy altas cotas.
Las tumbas encontradas por .dicha expedición tenlan muchas inscripciones, pero no se conocía la forma de descifrarlas. Creían los investigadores que cada sig­no representaba una palabra entera .
Champollión consiguió una piedra encontrada por un oficial francés en la zona de Roseta y estudiándola, detenidamente, encontró que los caracteres en jeroglífico se correspondlan con unas letras griegas; y supuso, como efectivamente fue así, que aquellas letras equivalían a esos signos.
Con este conocimiento y mucha paciencia pudo llegar a descifrar todo el alfabeto griego, pudiendo de esta manera llegar a leer los jeroglíficos.

Ejemplo.

En una encuesta realizada sobre 100 personas se ha comprobado los siguiente:

40 leen el periódico A

42 leen el periódico B

45 leen el periódico C

13 leen el periódico A y B

20 leen el periódico A y C

18 leen el periódico B y C

7 leen el periódico A, B y C

Se pide:

a) Cuántas personas no leen ninguno de los tres periódicos.

b) Cuántas personas leen únicamente el periódico A.

c) Cuántas personas leen únicamente un solo periódico.

El problema se puede realizar mediante un diagrama de Venn, o bien, operativamente, mediante cardinales.

Mediante un diagrama de Venn.

Los conjuntos A, B y C estarán solapados con intersección común ya que hay personas que leen los tres periódicos.

Mediante un diagrama de Venn. Los conjuntos A, B y C estarán solapados con intersección común ya que hay personas que leen los tres periódicos.

a) 17 personas no leen ninguno de los tres periódicos.

b) 14 personas leen únicamente el periódico A.

c) 14 + 18 + 14 = 46 personas leen únicamente un periódico.

Aplicamos la expresión general para tres conjuntos solapados.

n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

n(A∪B∪C) = 40 + 42 + 45 – 13 – 20 – 18 + 7 = 83 person­as leen algún periódico.

Luego no leen ningún periódico: 100 – 83 = 17 personas.

b) Para resolver este apartado y el siguiente, ya es convenien­te dibujar el diagrama de Venn.

En el diagrama observamos que 14 personas leen únicamente periódico A.

c) En el diagrama observamos que 14 + 18 + 14 = 46 personas leen únicamente un periódico.

Lo que denota la intensidad y la buena labor realizada por los geómetras griegos, se pone de manifiesto en el hecho de que aún en nuestros días, todo el tec­nicismo geométrico está consti­tuido por palabras de origen griego.Lo que denota la intensidad y la buena labor realizada por los geómetras griegos, se pone de manifiesto en el hecho de que aún en nuestros días, todo el tec­nicismo geométrico está consti­tuido por palabras de origen griego.
Lo demuestra también el hecho de que la geometría de Euclides continúa enseñándose en las escuelas y resuelve per­fectamente todas nuestras nece­sidades en la vida práctica.
En Grecia todas las clases sociales sentían una devoción grande por cuanto significaría cultura. Con igual complacencia contemplaban la belleza de una escultura, oían los sonoros ver­sos de su poema, que emplea­ban toda su inteligencia en acla­rar un problema matemático.
Había llegado a tanto este culto por lo bien hecho, que en Delfos y Corinto se imponían fuertes multas a los profesiona­les de cualquier actividad que no ejecutaban bien sus obras.

Ejemplo.

A una ponencia de un congreso internacional asistieron 25 personas, entre ellas había 20 militares, 12 universitarios, 17 españoles, 8 militares universitarios, 12 militares españoles y 11 universitarios españoles.

Se pide:

a) Cuántos españoles eran militares y universitarios a la vez.

b) Cuántos españoles eran militares o universitarios, pero no ambas cosas a la vez.

En el problema existen tres conjuntos que los vamos a designar por letras para mayor comodidad.

A = militares.        B = universitarios.        C = españoles.

La forma más cómoda de resolver el problema es operativa­mente. Aplicaremos la expresión general para tres conjuntos sola­pados, ya que tienen intersección común, al pedirnos en el aparta­do.

a) cuantos españoles militares universitarios hay .

a) n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C). Como lo que pide el problema es cuántos españoles militares universitarios hay, la incógnita es n(A∩B∩C).

Luego:  25 = 20 + 12 + 17 – 8 – 12 – 11 + n(A∩B∩C)

n(A∩B∩C) = 20 + 12 + 17 – 8 – 12- 11- 25 = 7 españoles militares universitarios.

b) Para resolver este apartado recurriremos a hacer un diagrama de Venn, y lo veremos con claridad. Téngase en cuenta que de las 25 personas, todas son: militares, universitarios, españoles o de varias cosas a la vez, luego, no hace falta utilizar el conjunto Universal.

Observando el gráfico, deducimos: 5 militares españoles y 4 universitarios españoles.

Observando el gráfico, deducimos: 5 militares españoles y 4 universitarios españoles.

Los árabes escribían las canti­dades con ayuda de las veinticin­co letras del alfabeto. En la Escuela de Bagdad, en el siglo IX, se desarrolló el siste­ma de numeración decimal de posición, que habían traído des­de la India poco tiempo antes. El perfeccionamiento de la aritmética decimal es la más notable contribución árabe a esta ciencia. Al-Juwarjzmi compuso el pri­mer texto sobre este tema y en él detalla nueve figuras o símbo­los del 1 al 9 añadiendo el cero; con ellos y con su ley de posicio­nes puede representar cualquier cantidad, por grande que sea.Los árabes escribían las canti­dades con ayuda de las veinticin­co letras del alfabeto.
En la Escuela de Bagdad, en el siglo IX, se desarrolló el siste­ma de numeración decimal de posición, que habían traído des­de la India poco tiempo antes.
El perfeccionamiento de la aritmética decimal es la más notable contribución árabe a esta ciencia.
Al-Juwarjzmi compuso el pri­mer texto sobre este tema y en él detalla nueve figuras o símbo­los del 1 al 9 añadiendo el cero; con ellos y con su ley de posicio­nes puede representar cualquier cantidad, por grande que sea.

Ejemplo.

En un curso hay 40 alumnos, cada uno de los cuales está matriculado en dos, y sólo en dos, de la asignatura de Latín, Griego y Árabe. Se sabe que en Latín hay matriculados en total 33 alumnos y en Griego otros 33 alumnos. Averiguar cuántos alum­nos hay matriculados simultáneamente en dos cualquiera de las tres asignaturas.

No hay duda que las posibilidades que existen es que cada uno de los 40 alumnos estudie a la vez Latín-Griego, Latín-Árabe o Griego-Árabe, conjuntos que entre sí son disjuntos, ya que cualquier alumno que esté en uno de ellos no es posible que esté en cualquiera de los otros. Además por esa misma razón, no es posible ­que los tres conjuntos tengan intersección común. Vamos a resolver el problema razonada y operativamente.

Mediante razonamiento:

Mediante razonamiento: Si fuese L∩G = 33, el A no podría tener intersección con L ni con G, puesto que ya dice el problema que L y G tienen 33 alumnos. Así que por tener 40 alumnos, para que el problema cuadre faltan 40 - 33 = 7, que son los alumnos que habrá que restar a L∩G para ponerlos en las intersecciones de ésta con A.

 

Si fuese L∩G = 33, el A no podría tener intersección con L ni con G, puesto que ya dice el problema que L y G tienen 33 alumnos. Así que por tener 40 alumnos, para que el problema cuadre faltan 40 – 33 = 7, que son los alumnos que habrá que restar a L∩G para ponerlos en las intersecciones de ésta con A.

Luego, 33 – 7 = 26 y, definitivamente:

L∩G = 26 alumnos.

L∩A = 7 alumnos.

G∩A = 7 alumnos.

Mediante operativa.

Comenzamos con la postura lógica entre los tres conjuntos, como ya se ha razonado.

Mediante operativa. Comenzamos con la postura lógica entre los tres conjuntos, como ya se ha razonado.

Para facilitar los cálculos vamos a llamar a: n(L∩G) = x; n(L∩A) =y; n(G∩A) = z, y poder formalizar el siguiente sistema de ecuaciones debido a que los conjuntos en cuestión son disjuntos dos a dos.

 Para facilitar los cálculos vamos a llamar a: n(L∩G) = x; n(L∩A) =y; n(G∩A) = z, y poder formalizar el siguiente sistema de ecuaciones debido a que los conjuntos en cuestión son disjuntos dos a dos.    

Luego las matrículas son: Latín-Griego = 26 alumnos.

                                               Griego-Árabe = 7 alumnos.

                                              Latín-Árabe = 7 alumnos.

Parece que los iberos se esta­blecieron en España unos 2.000 años antes de Cristo. Los vascos son descendientes directos de este antiquísimo pueblo, así como su idioma. Por el año 1600 antes de Cristo, los celtas ocuparon el Norte, formando luego las tribus de cántabros, astures y galaicos. Lucharon incansablemente con los iberos y al final se fundieron con ellos, formando el llamado pueblo Celtíbero. Entre el año 500 antes de Cristo y el comienzo de nues­tra Era fue desarrollándose en el Sur y Este de nuestra península una incipiente cultura.Parece que los iberos se esta­blecieron en España unos 2.000 años antes de Cristo.
Los vascos son descendientes directos de este antiquísimo pueblo, así como su idioma. Por el año 1600 antes de Cristo, los celtas ocuparon el Norte, formando luego las tribus de cántabros, astures y galaicos.
Lucharon incansablemente con los iberos y al final se fundieron con ellos, formando el llamado pueblo Celtíbero. Entre el año 500 antes de Cristo y el comienzo de nues­tra Era fue desarrollándose en el Sur y Este de nuestra península una incipiente cultura.
En lo que hoy son Murcia y Alicante, y a juzgar por las ruinas descubier­tas en las excavaciones realiza­das, es donde se manifiesta con más intensidad artística. De esta época es la «Dama de Elche», bellísima escultura ibérica des­cubierta en el Cerro de los San­tos de la ciudad que le ha dado el nombre.
En Andalucía florecieron algu­nos focos y es probable que ya en tan remota época se empeza­ran a explotar las minas de Río-tinto.
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