Producto cartesiano de conjuntos – Matemáticas

Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de los dos A x B al conjunto cuyos elementos son todos los pares posibles que tengan la primera componente perteneciente al con­junto primero A y la segunda componente perteneciente al segun­do conjunto B.

Obsérvese que como los pares (x, y) y (y, x) son distintos, tam­bién es distinto el conjunto producto cartesiano A x B del B x A (A x B * B x A).

La representación gráfica de un conjunto producto cartesiano se realiza igualmente que como hacíamos para los pares.

Ejemplo: Dados los conjunto A = (1, 2, 3) y B =(a, b), hallar el producto cartesiano A x B y B x A.

A x B = [(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)]

B x A = [(a, 1) (a, 2) (a, 3) (b, 1) (b, 2) (b, 3)]

Obsérvese cómo representamos gráficamente:

Mediante un diagrama cartesiano.

Obsérvese cómo representamos gráficamente: Como ya sabemos de los pares, sus primeras componentes deben de estar siempre en el eje horizontal del diagrama y las segundas en el eje vertical.

Como ya sabemos de los pares, sus primeras componentes deben de estar siempre en el eje horizontal del diagrama y las segundas en el eje vertical.

Pues bien, si nos dicen que representemos el conjunto A x B, pares de él tendrán sus primeras componentes pertenecientes conjunto A y las segundas al conjunto B, luego el eje horizontal va a ser el dominio del conjunto A y el eje vertical el dominio del de B.

Mediante un diagrama de flechas.

Pues bien, si nos dicen que representemos el conjunto A x B, pares de él tendrán sus primeras componentes pertenecientes conjunto A y las segundas al conjunto B, luego el eje horizontal va a ser el dominio del conjunto A y el eje vertical el dominio del de B. Mediante un diagrama de flechas.

Llegó la orden a un pueblecito de la sierra donde correspondía ir al servicio a dos personas: a un pastor de ovejas muy pobre, y al hijo del alcalde, que tenía fama de ser un avaro, en toda la exten­sión de la palabra, y por ello no estaba dispuesto a dar un solo céntimo ni a que su hijo fuera a "la mili", sino que siguiera ganando dinero para el millona­rio padre.Llegó la orden a un pueblecito de la sierra donde correspondía ir al servicio a dos personas: a un pastor de ovejas muy pobre, y al hijo del alcalde, que tenía fama de ser un avaro, en toda la exten­sión de la palabra, y por ello no estaba dispuesto a dar un solo céntimo ni a que su hijo fuera a “la mili”, sino que siguiera ganando dinero para el millona­rio padre.
Se las ingenió el padre para hacer que decidiera la suerte. En una bolsa de tela se meterían dos bolas: una blanca y otra negra. El que sacara la negra iría a “la mili”. Para que su hijo se salvara, metió en la bolsa dos bolas negras; sacaría primero el pastor y, al sacar una de las negras, ya no había necesidad de que su hijo sacara la otra y así se libraría.
El pastor era pobre, pero no tonto, y se las tenía que ingeniar, o para librarse o para estar en igualdad de condiciones que su contrincante, ya que sabía sobra­damente las trampas de que era capaz el avaro alcalde.
Cuando al día siguiente salió el alcalde con el saquito en la mano, estaba reunido todo el pueblo; le ofreció al pastor sacar primero. Este sacó una bola y, sin que la viera nadie, se la tragó diciendo: ¡Me como mi suerte! ¡La que ahí queda es del hijo del alcalde!

Ejemplo: Si el conjunto A está formado por las calles de una ciudad el conjunto N es el de los números naturales.

El conjunto A x N estará formado por pares cuya primera componente será una calle y la segunda componente un número, luego A x N nos estaría definiendo el conjunto de casas de la ciu­dad.

Existe también la posibilidad de efectuar el producto cartesia­no de un conjunto A por sí mismo. En estos casos lo representare­mos de cualquiera de las formas: A x A = A2. El procedimiento para obtener el conjunto A x A es el mismo que para obtener un conjunto A x B.

Ejemplo: Hallar A x A siendo A = {1, 2, 3}

A2 =A x A = {1, 2, 3} x {1, 2, 3} = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)}

Obsérvese cómo lo representamos gráficamente.

Mediante un diagráma cartesiano.

Ejemplo: Hallar A x A siendo A = {1, 2, 3} A2 =A x A = {1, 2, 3} x {1, 2, 3} = {(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)} Obsérvese cómo lo representamos gráficamente. Mediante un diagráma cartesiano.

Mediante un diagrama de flechas.

Mediante un diagrama de flechas. Una vez que conocemos la forma de manejar un conjunto producto cartesiano, vamos a estudiar cómo podemos obtener la cantidad de elementos de este sin obtener el conjunto completo.

Un excursionista que pasa el día en la montaña se ve sorprendido por un súbito y rápido incendio que le cierra la salida. Se encuentra en el punto A del croquis adjunto, y el viento viene en la dirección que indica la fle­cha.Un excursionista que pasa el día en la montaña se ve sorprendido por un súbito y rápido incendio que le cierra la salida. Se encuentra en el punto A del croquis adjunto, y el viento viene en la dirección que indica la fle­cha.
Imposible bajar por el otro lado, ya que existe un barranco que no se puede salvar. No lleva herramientas y tiene que salvar­se con su ingenio. ¿Cómo proce­der?
La solución es ir al primer fue­go, encender en él unas ramas; volver otra vez al punto A, e ini­ciar allí un fuego nuevo, que avanzará a la misma velocidad que el primero. El excursionista caminará de espaldas al primero y detrás del segundo fuego. De esta manera siempre se moverá sobre una zona libre, ya que el primero se apagará solo al llegar al punto A por falta de materia combustible.

Una vez que conocemos la forma de manejar un conjunto producto cartesiano, vamos a estudiar cómo podemos obtener la cantidad de elementos de este sin obtener el conjunto completo.

El número de elementos de un conjunto producto cartesiano; se obtiene multiplicando los números correspondientes a la canti­dad de elementos de cada uno de los conjuntos.

Si los conjuntos son A y B:

n (A x B) = n (A) · n (B)

Si los conjuntos son A y A:

n (A x A) = n (A2) = n (A) · n (A) = [n (A)]2

Ejemplo: Si el conjunto A= {1, 2, 3} y el conjunto B = {4, 5, 6, 7}

El conjunto A x B tendrá 3 · 4 = 12 pares o elementos.

El conjunto A x A tendrá 3 · 3 = 32 = 9 pares o elementos.

Ejemplo: Dados los conjuntos A= {1, 2}, B = {3} y C = {4}. Hallar el conjunto A x (B ∪ C)

A x (B∪ C) = {1, 2} x {3, 4} = {(1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4)}

Ejemplo: Representar gráficamente el producto cartesiano A x B, siendo:

A = {x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R, 2 ≤ y ≤ 3}

De entrada obsérvese que el conjunto A, por ser el primero de A x B, estará situado en el eje horizontal y B por ser el segundo en el eje vertical.

El conjunto A está formado por todos los números reales comprendidos entre 1 y 3 que son infinitos y el conjunto B está formado por todos los números reales comprendidos entre 2 y 3 que son infinitos, luego el conjunto A x B estará formado por infi­nitos pares.

El conjunto A está formado por todos los números reales comprendidos entre 1 y 3 que son infinitos y el conjunto B está formado por todos los números reales comprendidos entre 2 y 3 que son infinitos, luego el conjunto A x B estará formado por infi­nitos pares.

Obsérvese cómo A x B debe ser la zona rayada.

Ejemplo: Dibujar un diagrama del tipo N x R.

Como ya sabemos, N es el conjunto de los naturales (enteros y positivos) y R el conjunto de los reales, luego el conjunto N x R estará formado por pares, cuyas primeras componentes serán siempre números enteros de N y las segundas componentes cualquier número de R.

Como ya sabemos, N es el conjunto de los naturales (enteros y positivos) y R el conjunto de los reales, luego el conjunto N x R estará formado por pares, cuyas primeras componentes serán siempre números enteros de N y las segundas componentes cualquier número de R.

Obsérvese que N x R son las infinitas rectas verticales así dibujadas.

En Grecia se hablaban tres dialectos: el Dorio, el Eolio y el Jónico. A pesar de formar un solo conjunto territorial, la ver­dad es que la historia de este pueblo representa una lucha constante entre dos regiones: Atenas y Esparta.En Grecia se hablaban tres dialectos: el Dorio, el Eolio y el Jónico. A pesar de formar un solo conjunto territorial, la ver­dad es que la historia de este pueblo representa una lucha constante entre dos regiones: Atenas y Esparta.
Atenas, pueblo de comercian­tes y marinos, aficionados a las ciencias exactas, con inquietu­des artísticas, hombres pacíficos, se tuvieron que enfrentar a los espartanos, hombres guerreros, valerosos e indómitos.
Los griegos se mostraban siempre muy orgullosos por el alto nivel a que llegaron en la ciencia y en las artes, de tal manera, que llamaban desdeño­samente “bárbaros” al resto de los pueblos que no se interesa­ban tanto como ellos por las cuestiones relacionadas con las ciencias y el espíritu.
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