Relaciones posibles entre dos conjuntos. Matemáticas

Vamos a estudiar qué posturas pueden adoptar dos conjuntos entre sí, teniendo en cuenta los elementos que los componen:

A. Conjuntos iguales.

Dados dos conjuntos, A y B, diremos que son iguales cuando poseen los mismos elementos. Y lo representaremos con el símbo­lo = (A = B).

Si los conjuntos A y B son distintos, lo representaremos con el símbolo ≠ (A ≠ B).

Ejemplo: Los conjuntos A= {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3} son obviamen­te iguales (A = B).

Dados dos conjuntos, A y B, diremos que son iguales cuando poseen los mismos elementos. Y lo representaremos con el símbo­lo = (A = B).

B. Subconjuntos. Inclusión.

Dados dos conjuntos, A y B, diremos que A «es subconjunto» de B o que A «está incluido en» B, cuando todos los elementos de A están contenidos en B y no a la inversa:

Y lo representaremos con el símbolo ⊂ (A ⊂  B).

Cuando ocurra que no todos los elementos de A están inclui­os en B, podemos simbolizar por ∉.

Gráficamente expuesto:

Dados dos conjuntos, A y B, diremos que A "es subconjunto" de B o que A "está incluido en" B, cuando todos los elementos de A están contenidos en B y no a la inversa:

Con ánimo de manejar símbolos, obsérvese que:

  A ⊂ B = B ⊃ A

  A ⊂ B = B ∉ A

Ejemplo: Los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Están relacionados por inclusión, A ⊂ B.

Cuando entre dos conjuntos, A y B, se verifica cualquiera de las relaciones A ⊂ B o bien B ⊂ A, se dice que los conjuntos A y B son comparables.

Obsérvese que la relación A ⊂  B no excluye la posibilidad de A = B, esto ocurriría cuando siendo A ⊂  B, también fuese B ⊂  A.

En el caso de que A ⊂  B y B ⊄  A, se dice que la inclusión de A es estricta y que A es un subconjunto propio de B.

C. Conjuntos solapados.

Son aquellos conjuntos que poseen algún elemento común.

Ejemplo: Los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} son solapados (tienen algún elemento común, como el 3).

Son aquellos conjuntos que poseen algún elemento común.

D. Conjuntos disjuntos.

Son aquellos conjuntos que común.

Son aquellos conjuntos que común.

Ejemplo: Los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5} son disjuntos (no tienen ningún elemento común).

Ejemplo: Si el conjunto A no está incluido en el conjunto B, qué relaciones son posibles entre A y B.

Pueden ser:

  A y B solapados.

  A y B disjuntos.

  B ⊂  A.

En las orillas del río Tigris, unos 3.000 años a. de C., se desarrolló la cultura sumeria. Parece muy probable que la invención de la escritura date de esta época, pues los documen­tos escritos más antiguos se hallan en lenguaje sumerio. En ellos se encuentran símbolos numéricos, Más tarde el uso de la escritura uniforme se extendió a otros pueblos.En las orillas del río Tigris, unos 3.000 años a. de C., se desarrolló la cultura sumeria.
Parece muy probable que la invención de la escritura date de esta época, pues los documen­tos escritos más antiguos se hallan en lenguaje sumerio.
En ellos se encuentran símbolos numéricos.
Más tarde el uso de la escritura uniforme se extendió a otros pueblos.
La tablilla de arcilla en la que se grababan con palos apropia­dos las diferentes cantidades, estuvieron vigentes durante miles de años.

Cotas de un conjunto.

A.- Conjunto Universal.

Es aquel conjunto que contiene por lo menos a todos los conjuntos de un problema concreto.

Cada problema en cuestión, posee su conjunto Universal. Se representa por U.

Debemos considerar que entre todos los subconjuntos posi­bles de U, se encuentre el propio U.

Ejemplo: Si U es el conjunto de todos los números enteros, A puede ser el conjunto de todos los números impares.

Ejemplo: Si A =  (1, 2, 3) y B = (3, 4, 5) el conjunto U puede ser U = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

B.- Conjunto vacío.

Es aquel conjunto que no posee ningún elemento.

Debemos considerar que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.

El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo.

Se representa de las siguientes formas 0, Ø, { }.

Cualquier conjunto A, estará vinculado siempre a U y Ø por la relación Ø ⊆ A ⊆ U, por ello U y Ø reciben el nombre de cotas de un conjunto cualquiera.

Los egipcios empleaban sus conocimientos matemáticos y astrológicos para impresionar a los fieles de las diversas divini­dades. Como norma común, mu­chos de sus templos estaban si­tuados a la orilla del gran río Nilo -padre de todas las divini­dades- y su puerta principal orientada hacia el sol saliente, de forma que, una muy estudiada colocación de sus entradas y galerías, permitía que al salir el Sol, cuando sus primeros rayos estaban paralelos a la Tierra, iluminasen durante unos momentos y de forma muy intensa, el punto sagrado del altar.Los egipcios empleaban sus conocimientos matemáticos y astrológicos para impresionar a los fieles de las diversas divini­dades. Como norma común, mu­chos de sus templos estaban si­tuados a la orilla del gran río Nilo -padre de todas las divini­dades- y su puerta principal orientada hacia el sol saliente, de forma que, una muy estudiada colocación de sus entradas y galerías, permitía que al salir el Sol, cuando sus primeros rayos estaban paralelos a la Tierra, iluminasen durante unos momentos y de forma muy intensa, el punto sagrado del altar.
Este momento cumbre en los cultos diarios, era interpretado como signo favorable de la divi­nidad hacia los hombres de aquella región.
En Madrid podemos contem­plar un templo que suma estas características y que fue edifica­do en el siglo IV a. de J.C. Estaba dedicado al dios Amón. Nos referimos al templo de Debod.
Se pueden contemplar dos pilones o puertas exteriores -de las tres que tuvo en su construc­ción original- y un corredor cen­tral que lleva directamente al fondo del santuario, lugar donde, según la tradición, la diosa Isis dio a luz a Horus.

Conjuntos particulares.

La teoría de conjuntos, evidentemente se aplica al campo numérico. Por ello, existen unos determinados conjuntos de números, que adquieren una importancia capital y cuya simbología y contenido es necesario conocer. Son los siguientes:

 N (conjunto de los números naturales).

N* = {0, 1, 2, 3…}

 N* (conjunto de los números naturales sin el cero).

N* = {1, 2, 3…}

 Z (conjunto de los números enteros).

Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3,…}. 

Q (conjunto de los números racionales).

Q = {0, ± 1, ± 2, ± 2/5,…}.

Q+ (conjunto de los números racionales positivos).

Q+ = {0, 1, 2, 5/2,…}.

Q (conjunto de los números racionales negativos).

Q= {0, – 1, – 2, – 5/2,…}.

R (conjunto de los números reales).

R = {0, ± 1, ± 2, ± 5/2, ± √2,…} = {todos los números que existen}

R+ (conjunto de los números reales positivos).

R+ = {0, 1, 2, 5/2, √2,…}.

R– (conjunto de los números reales negativos).

R = {0, – 1, – 2, – 5/2, – √2,…}

C (conjunto de los números complejos).

C = {0, ± 1, ± 2, ± 5/2, ± √2, ± √-3,…}.

Obsérvese cómo el desarrollo de los conjuntos particulares se ha ido formando a través de la evolución del concepto de número.

Para ver más claramente esta evolución, vamos a relacionar los conjuntos particulares por inclusión.

Obsérvese cómo el desarrollo de los conjuntos particulares se ha ido formando a través de la evolución del concepto de número. Para ver más claramente esta evolución, vamos a relacionar los conjuntos particulares por inclusión. Obsérvese en el g

Obsérvese en el gráfico que al conjunto C se le puede conside­rar como conjunto universal de todos los números.

Los griegos son de los prime­ros en aplicar sus cálculos en aparatos que de alguna manera sirvieran para ahorrarles trabajo. Estudiaron los fenómenos naturales que les rodeaban y crearon sistemas prácticos, como el tornillo de Arquímedes, que les servía para subir agua del cauce de los ríos hasta las ace­quias de riego situadas en lo alto de las orillas. Esta forma de riego se sigue utilizando hoy en día en muchos países, tal y como se realizaba hace veintitrés siglos.Los griegos son de los prime­ros en aplicar sus cálculos en aparatos que de alguna manera sirvieran para ahorrarles trabajo.
Estudiaron los fenómenos naturales que les rodeaban y crearon sistemas prácticos, como el tornillo de Arquímedes, que les servía para subir agua del cauce de los ríos hasta las ace­quias de riego situadas en lo alto de las orillas. Esta forma de riego se sigue utilizando hoy en día en muchos países, tal y como se realizaba hace veintitrés siglos.
También forma parte este mecanismo de las grandes má­quinas que transvasan productos en polvo (cemento, yeso) o en grano, como cereales, trigo, cebada.
El sistema consiste en un cilindro hueco en cuyo interior está montado longitudinalmente en helicoide o tornillo que gira sobre su eje por medio de una manivela o motor. Sumergido la parte inferior en el líquido, al dar vueltas, el tornillo produce un efecto de traslación ulterior, que obliga a ir subiendo hacia la parte superior por donde vierte al exterior.

Conjunto de las partes.

Dado un conjunto A, llamaremos conjunto de las partes de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de A, incluido el propio conjunto A y el conjunto vacío.

Se representa por P (A).

La cantidad total de subconjuntos de A o de elementos de P (A) se puede obtener aplicando la expresión 2n, donde n es la can­tidad de elementos del conjunto A.

Ejemplo: Hallar el conjunto de las partes de A = {a, b, c}.

P (A) = { {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} { } }  

n.º de elementos de P (A) = 2n = 23 = 8 elementos o subcon­juntos de A.

Ejemplo: Razonar si es posible que un conjunto P (A) posea 15 ele­mentos.

No es posible, porque 2n siempre es un número par, cualquiera que sea n ∈ N .

Partición de un conjunto.

Dado un conjunto A, llamaremos partición de A, a cualquier conjunto, formado por subconjuntos de A, que reúnan las dos condiciones siguientes:

Todos los subconjuntos de A, deben ser disjuntos entre sí.

Entre todos los subconjuntos de A, deben cubrir o contener al conjunto A.

Ejemplo: Dar dos particiones diferentes de A = {a, b, c}

{ {a, b} {c} }  y  { {a} {b} {c} }

Nota. No se debe confundir: conjunto de las partes de A con partición de A. Obsérvese en los dos casos las diferencias importantes que los distinguen.

Los papiros fueron unas láminas obtenidas del tallo de esta planta que emplearon los egipcios para escribir en ellos. Los papiros más antiguos que se conocen corresponden a la V dinastía (3.000 años antes de C.) y están redactados en caracteres hieráticos dispuestos en columnas verticales.Los papiros fueron unas láminas obtenidas del tallo de esta planta que emplearon los egipcios para escribir en ellos. Los papiros más antiguos que se conocen corresponden a la V dinastía (3.000 años antes de C.) y están redactados en caracteres hieráticos dispuestos en columnas verticales.
Entre los más antiguos, se encuentra el papiro de Ahmes que contiene ochenta problemas de álgebra con sus soluciones correctas.
La escritura horizontal se impuso durante la XII dinastía (sobre el año 2.000 antes de C.).
Entre estos últimos se encuentra el papiro de Ajmin, último vestigio de la matemática egipcia.

Cuantificadores.

Son simbolismos que se utilizan en la teoría de conjuntos con el objeto de reducir frases o expresiones. Pueden ser de dos tipos:

A. Cuantificador Universal.

Se representa por ∀ y se lee “para todo».

Ejemplo. ∀  x ∈ N, leeríamos «para todo elemento x, perteneciente al conjunto de los números naturales N».

B. Cuantificador existencial.

Se representa por ∃ y se lee «existe al menos».

Ejemplo: ∃ x ∈ R, leeríamos «existe al menos un elemento x, perteneciente al conjunto de los números reales R».

Diagrama de Venn.

Son representaciones gráficas que se utilizan en la teoría de conjuntos con el objeto de facilitar las soluciones de los problemas y hacer más intuitivas las cuestiones que generan.

En general, al conjunto Universal del problema se le suele representar mediante un rectángulo y a los subconjuntos de éste, mediante círculos o elipses.

Llegado el momento de dibujar un diagrama de Venn, es conveniente antes estudiar detenidamente la composición de los subconjuntos de U, para hacerse una idea de la posición que van a mar entre sí.

Ej.: Representar en un diagrama de Venn los conjuntos siguientes:

U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3} y B = {3, 4, 5}

Ej.: Representar en un diagrama de Venn los conjuntos siguientes: U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3} y B = {3, 4, 5}

Ejemplo: Representar en un diagrama de Venn los conjuntos siguientes:

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 4, 5} B = {1, 2, 3, 6} y C = {1, 3, 4, 7}.

Ejemplo: Representar en un diagrama de Venn los conjuntos siguientes: U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 4, 5} B = {1, 2, 3, 6} y C = {1, 3, 4, 7}.

Ejemplo: Representar en un diagrama de Venn los conjuntos siguientes:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3, 4, 5} B = {3} y C = {4, 5, 6}

Ejemplo: Representar en un [diagrama de Venn los conjuntos siguientes: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3, 4, 5} B = {3} y C = {4, 5, 6}

Mi padre es un hombre muy desordenado, tiene en un cajón 12 pares de calcetines y, de ellos la mitad son azules y la otra mitad rojos. Cuando se encontraba total­mente vestido para ir al teatro y con sus zapatos en la mano, se fue la luz sin coger los calceti­nes.Los  Calcetines.

Mi padre es un hombre muy desordenado, tiene en un cajón 12 pares de calcetines y, de ellos la mitad son azules y la otra mitad rojos.

Cuando se encontraba total­mente vestido para ir al teatro y con sus zapatos en la mano, se fue la luz sin coger los calceti­nes.

Gran aficionado a las mate­máticas, no se equivocó en la elección, ya que sabía cuántos calcetines mínimos tenía que tomar para tener un par igual. ¿Cuántos tuvo que coger?

Solución.

Con tres calcetines sabía que tenía un par igual, ya que le daba lo mismo un color que otro.

Cálculo de posibilidades:

Rojo, rojo, rojo/azul, azul, rojo. Rojo, rojo, azul/azul, azul, azul.

Así tenía siempre un par correcto.

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