Resumen de correspondencias y aplicaciones. Matemáticas

Considérense las siguientes correspondencias. Vamos a hacer un esquema para retener todos los importantes conceptos anteriores, partiendo del más general de corresponden­cias.

Vamos a hacer un esquema para retener todos los importantes conceptos anteriores, partiendo del más general de corresponden­cia.

Ejemplo: Entre los conjuntos A = {a, b, e, d} y B = {1, 2, 3} defini­mos la siguiente correspondencia f: A→ B.= {(a, 1) (b, 2) (c, 3) (d,3)}. Clasificar f.

Inicialmente vamos a plantear el diagrama de flechas.

Ejemplo: Entre los conjuntos A = {a, b, e, d} y B = {1, 2, 3} defini­mos la siguiente correspondencia f: A→ B.= {(a, 1) (b, 2) (c, 3) (d,3)}. Clasificar f. Inicialmente vamos a plantear el diagrama de flechas.

Observando el diagrama vemos que es una aplicación por nacer de cada elemento del conjunto de partida una y sólo una fle­cha de cada uno y de todos sus elementos. Para ver qué tipo de aplicación es, estudiaremos el conjunto de llegada, que por tener todos sus elementos una flecha y alguno de ellos más de una, deci­diremos que se trata de aplicación suprayectiva.

Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 2, 3, 4} y B = {1, 4, 9, 16, 25}, donde definimos la siguiente correspondencia f: A -+ B = «A cada elemento de A le corresponde su cuadrado en B». Clasificar f.

Dibujemos el diagrama de flechas.

Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 2, 3, 4} y B = {1, 4, 9, 16, 25}, donde definimos la siguiente correspondencia f: A -+ B = "A cada elemento de A le corresponde su cuadrado en B". Clasificar f. Dibujemos el diagrama de flechas.

Se trata de una aplicación inyectiva. Aplicación, porque de cada elemento del conjunto de partida parte una flecha, e inyectiv­a, porque a los elementos del conjunto de llegada les llega una sola flecha y a alguno ninguna flecha.

Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3} donde estableceremos la siguiente correspondencia f: A → A = «a cada elemento de A le corresponden todos los elementos de A». Clasificar f.

Dibujaremos el diagrama sagital.

Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3} donde estableceremos la siguiente correspondencia f: A → A = "a cada elemento de A le corresponden todos los elementos de A". Clasificar f. Dibujaremos el diagrama sagital.

Se trata de una correspondencia simplemente, porque de cada elemento del conjunto de partida nace más de una flecha.

Pekín en su época de esplen­dor estaba compuesta por tres ciudades distintas, cada una con su muralla propia, además de una gran muralla que cerraba todo el conjunto. Estas ciudades eran: la china, la tártara y la imperial. La ciudad china tenía forma de un cuadrilátero regular, en ella vivía la gente más humilde.Pekín en su época de esplen­dor estaba compuesta por tres ciudades distintas, cada una con su muralla propia, además de una gran muralla que cerraba todo el conjunto. Estas ciudades eran: la china, la tártara y la imperial. La ciudad china tenía forma de un cuadrilátero regular, en ella vivía la gente más humilde.
La ciudad tártara formaba un cuadrilátero mucho mayor y era la zona de los nobles, de los potentados, de los comerciantes y artistas.
Una gran calle de cincuenta metros de ancho y de diez kiló­metros de longitud la atravesaba en toda su extensión y al final de ella se alzaba la fachada del palacio Imperial, formando a su vez otro rectángulo mucho mayor donde vivía el emperador y su corte.

Concepto de función.

En general a cualquier correspondencia sé la puede llamar también función. Lo que ocurre es que una función intenta repre­sentar una correspondencia entre dos conjuntos cuando el criterio f que define tal correspondencia viene expresado mediante una ley matemática. (Obsérvese que en lo anteriormente expuesto y en todos los ejemplos hemos manifestado el criterio f mediante pares o mediante una frase.)

Pues bien, toda función suele estar expresada por una ley matemática que consta de una 1 variable y de una [función. La variable es la que acepta los valores, que transformados mediante la ley matemática que se exponga da como resultado el valor correspondiente de la función.

Una función se puede representar de diversas formas. Las más usuales son: y = 2 x; f (x) = 3 x; x → 5 x + 1.

Ejemplo: Obsérvese cómo en la función y = 3 x, a medida que le damos valores a la variable x obtenemos los correspondientes valores de la función y.

Ejemplo: Obsérvese cómo en la función y = 3x, a medida que le damos valores a la variable x obtenemos los correspondientes valores de la función y.

Véase que de lo que se trata es de dar valores a x y ver cuál es el resultado de 3x para el valor dado de x, con lo que obtenemos el correspondiente de y que es igual a 3 x (y = 3 x).

 Ejemplo: Imaginemos que una correspondencia, el conjunto de par­tida es A= {1, 2, 3} y sin saber cuál es el conjunto de llegada, vea­mos en qué se transforman los valores de A mediante el criterio y – x + 5 (x pertenece al conjunto de partida, e y al conjunto de llegada).

para x = 1 → y = 1 + 5 = 6

para x = 2 → y = 2 + 5 = 7

para x = 3 → y = 3 + 5 = 8

Calendario Azteca o Piedra del Sol, se considera una glorifi­cación del astro rey; tiene 3,66 metros de diámetro y procede del templo Mayor.Calendario Azteca o Piedra del Sol, se considera una glorifi­cación del astro rey; tiene 3,66 metros de diámetro y procede del templo Mayor.
Representa en el centro la cara del Sol, sacando la lengua; gesto que parecía ser de buena suerte. A ambos lados de la cara, las manos son garras para apri­sionar corazones; las cuatro aspas o rectángulos son jeroglífi­cos de los días en que acababan las épocas de los soles anterio­res: viento, tigre, diluvio y agua.
El círculo siguiente tiene jeroglíficos que representan los días del mes: Cocodrilo, viento, casa, lagarto, serpiente, calave­ra, venado, conejo, agua, perro, mono, hierba, caña, jaguar, águi­la, buitre, movimiento, pedernal, lluvia y flor. Las dos franjas que terminan en cabezas de anima­les son dos serpientes que repre­sentan a los dioses del Norte y del Sur. El exterior representa el cielo con sus estrellas.

Ejemplo: Se dan los conjuntos A= {0, 3, 5} y B = {1, 4, 6} y la correspondencia f: A → B «y = x + 1; V x∈ A, V y∈ B»

Clasificar f

Dibujemos el diagrama de flechas.

Ejemplo: Se dan los conjuntos A= {0, 3, 5} y B = {1, 4, 6} y la correspondencia f: A → B "y = x + 1; Vx∈A, Vy∈B" Clasificar f Dibujemos el diagrama de flechas.

Luego se trata de una aplicación biyectiva.

Ejemplo: Considérense las siguientes correspondencias:

f : N → N ; ∀ x∈ N ; f (x) = x + 4

g : Z → Z ; ∀ y∈ Z ; g (y) = y3

h : Z → Z ; ∀ y∈ Z ; h (y) = -y

Clasificar f, g y h.

Para hacer este ejercicio, inicialmente debemos de saber qué es N y Z. N es el conjunto de los números naturales y Z el conjun­to de los números enteros. Así que cuando dibujemos N y Z en los diagramas de flechas pondremos únicamente una muestra repre­sentativa de ellos, ya que poseen infinitos elementos y es obvio que no podríamos expresar todos.

Para hacer este ejercicio, inicialmente debemos de saber qué es N y Z. N es el conjunto de los números naturales y Z el conjun­to de los números enteros. Así que cuando dibujemos N y Z en los diagramas de flechas pondremos únicamente una muestra repre­sentativa de ellos, ya que poseen infinitos elementos y es obvio que no podríamos expresar todos.

A la vista del esquema gráfico, se observa que cualquier ele­mento de N (conjunto de partida) va a tener imagen en N (conjun­to de llegada) y el 0, 1, 2 y 3 van a quedar sin ser imagen de ningún elemento.

A la vista del esquema gráfico, se observa que cualquier ele­mento de N (conjunto de partida) va a tener imagen en N (conjun­to de llegada) y el 0, 1, 2 y 3 van a quedar sin ser imagen de ningún elemento.

A la vista del esquema gráfico, se observa que cualquier ele­mento de N (conjunto de partida) va a tener imagen en N (conjun­to de llegada) y el 0, 1, 2 y 3 van a quedar sin ser imagen de ningún elemento.

En las orillas del lago Titicaca existen monumentos megalíticos cuya antigüedad no se ha podido determinar. Es muy probable que correspondan a una civilización contemporánea a las más anti­guas de Asia.En las orillas del lago Titicaca existen monumentos megalíticos cuya antigüedad no se ha podido determinar. Es muy probable que correspondan a una civilización contemporánea a las más anti­guas de Asia.
En Tiahuanaco existen tam­bién ruinas antiquísimas.
En Estados Unidos, en el Sur de Nevada, se han descubierto las ruinas de una ciudad prehis­tórica cuya antigüedad parece remontarse a unos 3.000 años antes de J. C.
En Nuevo México se descu­brieron las ruinas del Pueblo Bonito. Este pueblo estaba for­mado por un inmenso y único edificio capaz de albergar a 1.200 ó 1.500 habitantes. En él existen unas cámaras circulares que estaban destinadas a las ceremonias religiosas.
Estas ciudades pertenecieron a la civilización precolombina y tuvieron que usar sistemas matemáticos propios.
Cuando los españoles llega­ron a América, las civilizaciones que construyeron los enormes Teocalis, habían desaparecido ya desde hacía varios siglos.
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